Родился 14 октября 1918 года в селе Парная Шарыповского района Красноярского края. В 1928-м году семья Елисеевых переехала на рудник Андреевский Саралинского района. После окончания школы Григорий работал в совхозе, геологической экспедиции, забойщиком на Ивановском руднике.
В 1940-м был призван в ряды Красной Армии. Учился в Сталинградском военно-политическом училище. В апреле 1942-го был направлен в 178-й полк 278-й стрелковой дивизии Юго-Западного фронта. Храбро сражался Григорий Елисеев на Дону и под Сталинградом. Был награжден двумя медалями "За отвагу".
20 октября 1943 года 278-я дивизия была преобразована в 60-ю гвардейскую стрелковую дивизию и передана в состав 3-го Украинского фронта. Впереди был Днепр и Хортица. Ночью на 26 октября 1943 года началась переправа через Днепр. Первые лодки стремительно двигались вперёд. Вдруг темноту ночи разорвали ослепительные вспышки ракет. Гитлеровцы заметили десантников и открыли огонь. Несколько солдат и офицеров были ранены. В метрах двадцати от берега снаряд разбил лодку, в которой находился Г.С.Елисеев. Оглушенный, с перевязанной рукой, он оказался в холодной воде. Ценою больших усилий он достиг правого берега. Во время форсирования реки погиб командир батальона. Тогда командование подразделением принял на себя Елисеев. Сразу же пришлось вступить в рукопашный бой с гитлеровцами. Несмотря на ранение Г.С.Елисеев в тяжелом поединке уничтожил огневую точку противника, которая вела прицельный огонь по форсировавшим Днепр. Бойцы по командованием Г.С.Елисеева захватили плацдарм на острове Хортица. Двенадцать раз пытались фашисты выбить десантников с позиции, но безуспешно. Трое суток насмерть стояли гвардейцы на Хортицком плацдарме. В этих боях отважный командир был ранен и тяжело контужен.
Вот что писал об этом командир 178-го гвардейского стрелкового полка гвардии полковник Слесарчук в наградном листе на представление Григория Семеновича Елисеева к званию Героя Советского Союза:
"Ночью 26.10.1943 г. штурмовой батальон искусно переправился через Днепр, высадился на остров Хортица. Гвардейцы с криком "Ура!" начали успешно продвигаться по тяжелому рельефу местности. Гитлеровцы, обратившись в бегство, потеряли первую линию своей обороны. И, чтобы восстановить потерянный рубеж, пошли в контратаку, пустив в ход танки и ведя артиллерийский и минометный огонь. В эту тяжелую минуту вышел из строя командир стрелкового батальона. Командование батальоном принял на себя тов. Елисеев. Умело организовав оборону занимаемого плацдарма, гвардейцы под руководством тов. Елисеева отбили четыре бешеных контратаки фашистов с большими для них потерями.
Во время отражения атак тов. Елисеев лично сам находился в боевых порядках и своими героическими подвигами воодушевлял бойцов и командиров. В течение всего дня гвардейцы под руководством тов. Елисеева сдерживали натиск атакующих фашистов. Боеприпасы подходили к концу. Враг подбрасывал все новые и новые силы. Тов. Елисеев принимал все необходимые решения для удержания небольшого клочка Советской земли до подхода подкрепления…"
За мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 мая 1944 года гвардии капитану Елисееву Григорию Семеновичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
После форсирования Днепра Григорий Елисеев освобождал Правобережную Украину, Молдавию в составе 1-го Белорусского фронта, участвовал в Висло-Одерской операции, штурмовал Берлин. 178-й полк, в котором он воевал, к концу войны стал Кишиневским Краснознаменным стрелковым полком, а 60-я дивизия – гвардейской Павлоградской Краснознаменной ордена Суворова 2-й степени стрелковой дивизией. Григорий Семенович Елисеев был удостоен ордена Отечественной войны 1-й степени и многих медалей.
После войны Григорий Семенович окончил Военно-Политическую академию имени В.И. Ленина и продолжил службу в Вооруженных Силах. Был военным комиссаром города Полтавы. В 1966-м в звании полковника вышел в отставку. 23 июня 2000 года Григория Семеновича Елисеева не стало.
Его имя высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и в Аллее Героев в парке Победы столицы Хакасии.
В селе Парная на доме, в котором родился Герой, установлена мемориальная доска.