Родился 26 декабря 1924 года в селе Корнилово Ужурского района Красноярского края в семье крестьянина. В 1930 году с родителями переехал в Саралинский район. Здесь окончил среднюю школу. В августе 1942 года призван в ряды Красной Армии. В 1943 году окончил артиллерийское училище в г. Томск и был направлен в действующую армию. В мае 1943-го отбыл на Степной фронт – в 196-й гвардейский артиллерийский полк 89-й гвардейской стрелковой дивизии 37-й армии на должность командира взвода управления 1-й батареи.
Дивизия, в которой воевал Белошапкин К.Ф., участвовала в Курской битве, в освобождении Орла, Белгорода и Харькова. За эти боевые заслуги 89-я гвардейская стрелковая дивизия была удостоена почетного наименования "Белгородско-Харьковская", а наш земляк Клавдий Белошапкин – ордена Отечественной войн 1-ой степени.
В сентябре 1943-го дивизия форсировала Днепр. Вот что написал об этом командир 196-го гвардейского артиллерийского полка гвардии майор Людвиновский в наградном листе на представление Клавдия Белошапкина к званию Героя Советского Союза:
"30.09.43 г. в районе села Коноплянка наши стрелковые подразделения, переправившиеся на правый берег Днепра, были контратакованы немецкой пехотой при поддержке 5 танков. Обстановка требовала немедленно перебросить на правый берег наблюдательный пункт для корректировки огня. Гвардии младший лейтенант Белошапкин изъявил желание форсировать Днепр. На рыбачьей лодке под сильным огнем противника он переправился на правый берег. Лодка была несколько раз пробита, но опытный командир Белошапкин захватил с собой паклю и на ходу исправлял повреждения. Расположившись в непосредственной близости от противника, он выявил 6 пулеметных, 4 минометных и 2 артиллерийские огневые позиции. Все эти огневые точки были уничтожены и вражеская контратака отбита.
1.10.43 г. противник вновь контратаковал наши позиции, и вновь гвардии младший лейтенант Белошапкин корректировал огонь артполка. Он был ранен, но поле боя не оставил и продолжал вести разведку огневых средств противника и корректировать огонь артполка.
Было отбито 6 контратак противника. Наши подбили 7 танков, уничтожили 9 пулеметов, подавили огонь 2 артбатарей, 2 реактивных минометов, уничтожили до 200 фашистов. Наша пехота прочно закрепилась на правом берегу…"
За мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 20 декабря 1943 года гвардии младшему лейтенанту Белошапкину Клавдию Флегонтовичу было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
В 1944 году наш отважный земляк Клавдий Белошапкин воевал на Ленинградском фронте, на Карельском перешейке, участвовал в освобождении Эстонии. Член КПСС с 1944 года.
После окончания Великой Отечественной войны Клавдий Флегонтович окончил Военно-артиллерийскую командную академию имени Ф.Э.Дзержинского и продолжил службу в Вооруженных Силах. Жил в Ленинграде, в 1990-х годах переехал в Киев. 25 апреля 2005 года Клавдия Флегонтовича не стало. Похоронен в г. Киев на городском кладбище "Берковцы".
Имя Белошапкина Клавдия Флегонтовича высечено на стелах в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и в Аллее Героев в парке Победы столицы Хакасии.