Будущий мэтр оркестра родился в Северной Осетии в 1936 году и рано познал трудности жизни. Детство Анатолия Александровича пришлось на лихие военные и послевоенные годы. После школы парень отслужил в рядах советской армии, затем окончил владикавказское училище искусств (ныне колледж им. В. Гергиева). Его яркий талант не могли не заметить, в середине 60-х Абаева в качестве первого трубача пригласил в свой оркестр известный дирижер Павел Ядых. И хотя Анатолий Абаев начинал свою музыкальную карьеру как джазмен-"свистун" (исполнитель самых высоких нот), в годы работы в оркестре в нем раскрылся громадный талант к "серьезной" музыке. Работу в симфоническом оркестре Анатолий Абаев совмещал с заочным обучением в Казанской консерватории в классе легендарного педагога Анатолия Колпинского, "обрусевшего" итальянца, которого называли "Паганини трубы".

Абаев снискал славу не только в Осетии. Сам маэстро Валерий Гергиев высоко ценил творчество трубача. Абаев часто и охотно солировал с оркестром , что для последнего, кстати, было не очень характерно, ведь, как правило, на партии "соло" приглашают известных титулованных солистов, как, например, Тимофея Докшицера.

Венцом музыкальной карьеры нашего виртуоза стало исполнение концерта известного композитора и трубача А. Нестерова под управлением автора в конце 70-х годов. Всего служению музыке Абаев посвятил более полувека. До недавнего времени работал в джазовом оркестре под управлением Николая Кабоева, преподавал в колледже искусств имени В. Гергиева, воспитал целый ряд ныне известных в Осетии и за ее пределами трубачей. Уход Анатолия Александровича из жизни – невосполнимая потеря для искусства Северной Осетии. Его незабываемое соло на трубе еще долго будет звучать в душах и благодарных сердцах почитателей его таланта.