Заниматься борьбой Алимбег начал в Цхинвале, в 1951 году переехал в Орджоникидзе, тренировался у опытного Асланбека Захаровича Дзгоева, благодаря которому раскрылся его  блестящий спортивный талант. В 1951 году ученик школы №13 на первенстве РСФСР среди юношей выиграл все свои схватки на туше, таким же феерическим было его выступление и на  юношеском первенстве страны. В 1954 году Алимбег убедителен был уже на взрослом чемпионате РСФСР, всех своих соперников он положил на лопатки.

На чемпионате СССР в 1955 году, который проходил в Минске, Бестаев в привычном  для себя стиле победил всех своих соперников и  завоевал золотую медаль, опередив  таких именитых борцов, как С. Габараев, И. Дадашев, В. Синявский.

По итогам чемпионата СССР Алимбег был включен в состав сборной СССР и в 1956 году отправился в Стамбул для участия в Кубке мира, который проводился впервые и мало чем отличался по  спортивному уровню и структуре от  мировых первенств. Алимбегу потребовалось всего 20 минут, чтобы уложить на лопатки пятерых своих грозных соперников, вместе с золотой медалью ему вручили и  приз как лучшему борцу. На стадионе  "Митхат-Паша" 40-тысячная публика, хорошо разбиравшаяся в борьбе, удостоила нашего борца шквалом аплодисментов.

На Олимпийские игры в Мельбурн он ехал безоговорочным фаворитом в своей весовой категории. Уверенно выиграл несколько схваток, но затем проиграл знаменитому иранскому борцу Имам-Али Хабиби и в итоге остался на третьем месте.

В 1957 году чемпионат мира проходил в  Стамбуле. Алимбег Бестаев уверенно выиграл все свои поединки и  по праву заслужил золотую медаль.

Он был самым ярким борцом 50-х годов прошлого века, спортсменом, на которого "шел" болельщик, на него хотели быть похожими дети, которые записывались в секции борьбы в стране и за рубежом. Его честность, порядочность, бескомпромиссность не укладывались в те рамки, которые обозначали чиновники от спорта, вследствие чего звание заслуженного мастера спорта СССР ему присвоили лишь через 10 лет.

В 1959 году Алимбег Бестаев окончил Краснознаменный военный институт физической культуры и спорта в Ленинграде, работал тренером Центрального совета  Советской армии. Воспитал десятки первоклассных мастеров ковра. Это он в 1975 году  разглядел тренерский талант Анатолия Маргиева и позвал его к себе в ЦСКА.

Своими яркими победами на ковре, умением разглядеть талант и вывести его в мастера Алимбег Борисович Бестаев навсегда вписал свое имя в историю не только нашей Осетии, но и страны, в историю вольной борьбы в целом.