Александр Борисович родился 9 октября 1919 г. в с. Коста Хетагурово в Карачаево-Черкесии, в семье крестьянина. Закончил 7 классов средней школы в своем селе, после кооперативную школу, в 1937 г. – Сухумский субтропический техникум. В начале сентября 1937 г. по комсомольской путевке Абхазского обкома ВЛКСМ Александр Козаев добровольцем ушел служить в Красную Армию. В 1939 г. он закончил Орджоникидзевское Краснознаменное пехотное училище, а в 1941 г. в г. Киеве – курсы усовершенствования командного состава противовоздушной обороны. В том же 1941 г. А. Козаев вступил в ряды компартии. На фронтах Великой Отечественной войны Александр Борисович с сентября 1941 года. Он был участником 70-дневной обороны г. Одессы и 250-дневной обороны г. Севастополя. 24 октября 1941 г. в районе станции Джанкой во время боя Александр Козаев был тяжело ранен. Полгода проходил лечение в госпитале, а в марте 1942 г. вновь вернулся в строй. Его назначили командиром отдельной зенитно-пулеметной роты.
В августе 1942 г. на Северном Кавказе сложилась тяжелая фронтовая обстановка. Фашисты готовились нанести мощный танковый удар по нашим войскам в районе Пятигорск – Прохладный – Прикумск. Перед начальником разведки 11 гвардейского стрелкового корпуса старшим лейтенантом А. Козаевым была поставлена задача: разведать, куда будет нанесен этот удар. Для выполнения задания Козаев сформировал группу, в нее вошли: младший лейтенант Никитин, старшина Глушков, сержанты Дроздов, Петрусенко, Циклаури, в группе был еще один разведчик по имени Иван, его прислали из штаба корпуса. В ходе проведения разведоперации разведчики уничтожили подполковника, оберлейтенанта, двух солдат противника, захватили важные документы, карты. Таким образом, разведчики установили, что главный удар противника будет нанесен 15 августа 1942 г. в направлении Моздока, Малгобека, Грозного, Махачкалы, Баку, а наступление начнется из районов Пятигорска и Прохладного. Все эти сведения А. Козаев доложил в штаб корпуса. Задание разведчики выполнили. За выполнение этой операции А. Козаев, И. Никитин, А. Глушков были награждены орденами Красной Звезды, а остальные разведчики – медалями "За отвагу". Добытые ими сведения дали возможность командованию усилить оборону наших войск на тех участках, где противник планировал форсировать р. Терек.
29 октября 1942 г. отряд разведчиков под командованием А. Козаева был переброшен на Орджоникидзевское направление. Отряд тремя группами вел разведку в районе с. Кадгарона, Ногкау, Хаталдона. Во время разведывательной операции были взяты в плен фашисты, доставлены в с. Гизель, где находился штаб корпуса. От пленных были получены важные сведения. К ноябрю 1942 г. враг наносил удары авиации по столице Северной Осетии. В штаб 11 гвардейского стрелкового корпуса поступили сведения о том, что в районы гор Лысая и Рухсдзуар проникли вражеские разведчики. А. Козаеву и его группе было дано задание – провести разведку в этих районах.
В ночь на 21 ноября 1942 г. отряд А. Козаева провел разведоперацию, в ходе которой была уничтожена большая группа вражеских разведчиков, захвачено 17 автоматов, 4 легких пулемета, 7 ракетниц, 5 радиостанций, карты и схемы. По документам, которые были захвачены у врага, А. Козаев установил, что у вражеских разведчиков было задание пересечь р. Терек южнее г. Орджоникидзе и выйти к горе в районе Тарского. Все полученные данные и документы были переданы в штаб корпуса. Выполнив это задание, А. Козаев с разведчиками А. Глушковым и А. Циклаури приступили к выполнению очередного. Проникнув в оккупированное селение Гизель, Александр Козаев стал наносить на карту танковые, артиллерийские и другие вражеские позиции. Возвращаясь с задания, они встретились с местной жительницей, которая рассказала разведчикам о том, что в подвале ее дома фашисты установили телефон, радио, натянули много разных проводов. А. Козаев поблагодарил женщину. Не теряя ни минуты, разведчики сумели проникнуть во двор дома и в полночь гранатами взорвали дом с вражескими солдатами.
После освобождения с. Гизели А. Козаеву было поручено сформировать высокоманевренный, механизированный отряд из 300 человек. В него должны были входить минометчики, артиллеристы. Этот отряд под командованием А. Козаева 15–16 декабря 1942 г. первым ворвался в Ардон, 30 декабря – в Дигору, 31 декабря – Сурх-Дигору, в ночь на 1 января 1943 г. – Чиколу. Отряду А. Козаева удалось прорваться в тыл противника и нанести удар по его отходящим колоннам, что позволило перехватить важнейшие ключевые позиции врага и удерживать их до подхода главных сил корпуса. Также внезапным ночным штурмом А. Козаев со своим отрядом ворвался в г. Пятигорск и тем самым были спасены многие важнейшие объекты города от уничтожения и разрушения, освобождены бойцы Красной Армии из лагеря для военнопленных, был предотвращен угон наших граждан в фашистское рабство. В ходе этого рейда отрядом было освобождено 40 населенных пунктов, у врага было отбито много трофеев. В мае 1943 г. отряд был расформирован. Александра Козаева назначили начальником разведки 32-й гвардейской стрелковой дивизии.
14 октября 1943 г. Александру Козаеву было присвоено звание гвардии майора. 3 ноября 1943 г. он с группой разведчиков участвовал в форсировании Керченского пролива, в ходе этой боевой операции Александр был тяжело ранен, через месяц после лечения вернулся в строй. Но, вскоре во время выполнения очередного задания был вновь тяжело ранен, у героя-разведчика отнялись ноги. Четыре месяца врачи боролись за его жизнь, им удалось поднять его на ноги. В апреле 1944 г. гвардии майор А. Козаев вернулся в строй. Он участвовал в штурме Сапун-горы, в освобождении г. Севастополя.
После освобождения Крыма, Александр Козаев участвовал в боях за освобождение Прибалтики, Восточной Пруссии. В марте 1945 г. его назначили командиром 1-го гвардейского Краснознаменного Севастопольского стрелкового полка, 2-й гвардейской стрелковой Таманской Краснознаменной ордена Суворова дивизии. 13 апреля 1945 г. полк под командованием А. Козаева разгромил мощную группировку врага на Земландском полуострове. С 13 по 17 апреля 1945 г. были освобождены 30 населенных пунктов, взято в плен свыше 600 вражеских солдат и офицеров, а 400 уничтожено, также было захвачено много вражеской техники. К 17 апреля 1945 г. полк под командованием А. Козаева вышел к побережью Балтийского моря, тем самым были сорваны планы врага на эвакуацию своих войск, проложен путь остальным частям дивизии.
29 июня 1945 г. Александру Борисовичу Козаеву было присвоено звание Героя Советского Союза. После завершения войны он продолжил служить в Вооруженных силах. В 1948 г. закончил Военную академию им. М.В. Фрунзе, после окончания которой работал там же старшим преподавателем тактики. С 1953 г. полковник А. Козаев проходил службу в ракетных войсках. В 1960 г. он уволился в запас. Жил в г. Москве. Активно занимался общественной работой. Возглавлял Совет ветеранов 2-й гвардейской стрелковой Таманской Краснознаменной ордена Суворова дивизии. По местам боевого пути Таманской дивизии А. Козаев с однополчанами организовал 670 музеев боевой славы, направлял работу красных следопытов, которые вели поиски без вести пропавших фронтовиков Великой Отечественной, организовывал поисковые экспедиции. Совместно со своим однополчанином, бывшим начальником разведки дивизии В. Шпилевским им написана книга мемуаров "Навечно в памяти народной" о боевом пути Таманской дивизии. Александр Борисович часто гостил в своем селе. Подлинный подвижник и патриот А. Козаев никогда не упускал возможности встречаться с молодежью, и его воспоминания о былом и пережитом, отеческие наказы и напутствия всегда находили живой отклик в их душах.
За мужество, отвагу проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, полковник Александр Борисович Козаев был награжден орденами: Ленина, двумя Красного Знамени, двумя Отечественной войны I и II ст., тремя Красной Звезды, многими медалями. 21 мая 1994 г. Александр Борисович ушел из жизни, похоронен в центре своего села на Аллее Героев, где ему установили бюст. Его именем названа одна из улиц в селе.
Всю свою жизнь Александр Борисович Козаев посвятил служению Отечества и своему народу.