Вправе ли застройщик зарегистрировать квартиру за дольщиком?

Да, конечно. Такую возможность ввели в закон еще в июле 2020 года. Застройщик после завершения строительства многоквартирного дома передает квартиру заказчику (участнику долевого строительства) и по соглашению с ним вправе обратиться на государственную регистрацию права на эту квартиру за заказчиком. Полученную от органа регистрации выписку из реестра застройщик должен передать заказчику.

В настоящее время имеется законопроект, где указанное "право" застройщика превратят в "обязанность" и застройщик во всех случаях будет обращаться на регистрацию прав жилые и нежилые помещения в МКД за заказчиками.

Нужно ли после оформления завещания на квартиру делать об этом какие-нибудь отметки в Росреестре?

Конечно, нет. Завещание имеет отлагательное действие и им можно будет воспользоваться только после смерти лица, завещавшего имущество (если оно в течении времени не будет им отменено).

Т.е. по факту смерти и получения наследства (оформления свидетельства о праве на наследство) – только тогда лицо, которому завещано имущество (наследник) придет в Росреестр (через МФЦ) и зарегистрирует свое право.

А по самому завещанию в Едином государственном реестре недвижимости никаких отметок делать не предусмотрено и бесполезно.

Жилой дом на двоих. Ветхую полдома снесли. Как снять эту долю с учета?

Собственно "доля" с учета не снимается.

В данном случае в ЕГРН нужно преобразовать объект, уменьшив его площадь и контур (границы здания). Для этого необходимо у любого кадастрового инженера заказать технический план на здание.

Поскольку снос половины дома приводит к прекращению права общей долевой собственности у одного прежнего сособственника и к возникновению полного права собственности на оставшийся объект у другого сособственника, - необходимо составить соглашение об указанном.

При этом необходимо обратиться в орган регистрации через МФЦ одновременно на: 1) кадастровый учет изменений объекта обоим собственникам; 2) собственнику снесенной половины дома подать заявление о прекращении своего права; 3) собственнику оставшейся половины дома подать заявление о внесении изменений в запись о праве – об изменении права общей долевой собственности на индивидуальную собственность.

Как получить "открытую" выписку из ЕГРН, чтобы узнать – кому принадлежит объект и на кого подавать в суд?

Все верно, если объект принадлежит физическому лицу (гражданину) запрошенная третьим лицом выписка из ЕГРН не покажет – кому принадлежит объект. В таком случае Вы можете запросить "открытую" выписку из ЕГРН через нотариуса.

Для этого нотариусу подается письменное заявление от лица, которому такие сведения необходимы для защиты своих прав и законных интересов, например, для подачи документов в суд. В заявлении обосновывается – зачем вам нужны данные на собственника объекта и чем нарушены ваши права.