Дремов Иван родился 15 октября 1901 года в деревне Ишковка Ивантеевского района. Окончил сельскую школу. Работал пастухом, подмастерьем кузнеца.
В Красной Армии служил с июня 1919 года. Был красноармейцем 85-й этапной роты в Самаре, затем в 85-м стрелковом полку 10-й стрелковой дивизии. В гражданской войне участвовал в боях с белополяками на Западном фронте под Мозырем, Брестом и на Варшавском направлении, а в конце 1920 года воевал против войск генерала С.П. Булак-Балаховича в Белоруссии.
С 1921 года служил в 158-м отдельном пограничном батальоне в Слуцке - красноармеец, заведующий оружием, затем красноармеец 80-го стрелкового полка 8-й стрелковой дивизии в Бобруйске.
Заочно окончил 1 курс Военной академии РККА имени М.В. Фрунзе в 1938 году. С марта 1939-го - помощник начальника 2-го отдела штаба Белорусского Особого военного округа, командир 729-го стрелкового полка в Орловском военном округе. В этой должности принимал участие в советско-финской войне 1939-1940 годов, куда полк был переброшен в полном составе.
С начала Великой Отечественной войны до победы над Германией сражался на многих фронтах.
С января 1944 года - командир 8-го гвардейского механизированного корпуса 1-й танковой армии на 1-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах. Принимал участие в Проскуровско-Черновицкой, Львовско-Сандомирской, Висло-Одерской, Восточно-Померанской, Берлинской наступательных операциях. Дважды ранен, трижды контужен.
21 марта 1944 г. корпус прорвал оборону противника и, несмотря на распутицу и весеннее бездорожье, стал стремительно продвигаться на юг. 24 марта части генерала Дремова первыми из войск фронта прорвались к Днестру в районе г. Залещики и сходу приступили к форсированию реки. В этот день корпус захватил плацдарм на южном берегу Днестра, обеспечив переправу других соединений 1-й гвардейской танковой армии.
Генерал Дремов переправился через Днестр одним из первых и лично руководил боем передовых частей по расширению плацдарма. Его продуманные распоряжения, твердое и четкое управление частями в ходе боя, личное мужество и бесстрашие сыграли решающую роль в успешном выполнении боевой задачи.
За период с 21 по 31 марта 1944 года корпус генерала Дремова прошел с боями около 250 километров, достиг предгорий Карпат, освободил сотни населенных пунктов Тернопольской и Ивано-Франковской областей, в том числе городов Теребовля, Чортков, Бучач, Залещики и Коломыя, а также 12 крупных железнодорожных станций.
В ходе боев частями корпуса было уничтожено 8000 и пленено 2500 солдат и офицеров противника, уничтожено и захвачено в качестве трофеев 49 танков, 219 орудий, 5000 автомашин, около 100 складов с военным имуществом, 1250 повозок с грузами, 12 железнодорожных эшелонов и много другого вооружения и имущества.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 апреля 1944 года за умелое руководство частями корпуса при форсировании Днестра, захвате и удержании плацдарма на юго-западном берегу реки и проявленные при этом доблесть и мужество гвардии генерал-майору танковых войск Дремову Ивану Федоровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
В 1949 году отважный генерал окончил Высшие академические курсы при Высшей военной академии имени К.Е. Ворошилова. С мая 1949 года командовал 6-й гвардейской механизированной (с августа 1957-го - танковой) армией. С мая 1958 года генерал-лейтенант танковых войск Дремов ушел в запас.
Жил в городе Днепропетровск. Скончался 2 сентября 1983 года. Похоронен в Днепропетровске на Аллее Героев Запорожского кладбища.
В феврале 2020 года имя Героя Советского Союза И.Ф. Дремова присвоено средней общеобразовательной школе села Ивантеевка.