Родился в 1923 году в селе Новоалександровка Новосибирской области. Рано остался без родителей и воспитывался в Ачинском детском доме Красноярского края. В восемь лет был усыновлен супругами Тихоновыми из села Малое Озеро. После окончания школы и курсов стал трактористом.
13 декабря 1941 года призван в ряды Красной Армии Саралинским РВК Хакасской автономной области. В 1942 году окончил курсы младших командиров и направлен в 309-ю стрелковую дивизию, которая формировалась тогда в Хакасии. 30 апреля 1942 года после торжественного митинга на Первомайской площади в Абакане Хакасия провожала своих воинов на фронт. И уже 7 июля они приняли боевое крещение на станции Лиски Воронежской области. В составе 957-го полка 309-й стрелковой дивизии Анатолий Прокопчик воевал на Дону, сдерживая наступление фашистов, рвущихся к Сталинграду, храбро сражался на Курской дуге, освобождал левобережную Украину. 18 сентября 1943 года бойцы 309-й дивизии освободили город Пирятин. За эти боевые заслуги она была удостоена почётного наименования "Пирятинская".
Впереди была великая битва за Днепр. Вот что написал об этом командир 957-го стрелкового полка майор Каснер в наградном листе на представление Анатолия Павловича Прокопчика к званию Героя Советского Союза:
"В ночь на 24 сентября 1943 года тов. Прокопчик А.П.в числе первых со взводом форсировал реку Днепр. В боях на правобережье умело поддерживал наступающую пехоту огнём своих миномётов. В боях за овладение населёнными пунктами Щучинка и Балыка тов. Прокопчик А.П. со взводом пробрался в тыл противника и с тыла открыл огонь из своих миномётов, подняв панику, благодаря чему основным подразделениям полка удалось с наименьшими потерями ворваться в населённые пункты и овладеть ими. Когда из строя выбывали расчет за расчетом, тов. Прокопчик А.П. работал за наводчика миномета и отбивал контратаки противника в течение 4 суток. Было отбито 18 контратак врага. В этих ожесточённых боях на правобережье тов. Прокопчик А.П. уничтожил лично до 40 солдат и офицеров противника, сам смертью храбрых пал на боевом посту.
За форсирование реки Днепр, за мужество и геройство, проявленные в боях на правобережье, тов. Прокопчик А.П. достоин представления к высшей правительственной награде - "Герой Советского Союза".
За мужество и отвагу, проявленные при форсировании Днепра, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 октября 1943 года младший лейтенант Прокопчик Анатолий Павлович был посмертно удостоен звания Героя Советского Союза.
Похоронили Анатолия Прокопчика вместе с однополчанами в братской могиле в селе Балыко-Щучинка Кагарлыкского района Киевской области.
Его награды - медаль "Золотая Звезда", ордена Ленина и Красной Звезды - были переданы Таисии Осиповне Тихоновой.
Его имя высечено на одной из стел в Зале Славы Центрального музея Великой Отечественной войны на Поклонной горе в Москве и в Аллее Героев в парке Победы столицы Хакасии.