Он родился 29 октября (10 ноября по новому стилю) 1869 г. в городе Слободском Вятской губернии (ныне Кировской области). В 1887 г. Николай Буш поступил в Казанский университет на естественное отделение физико-математического факультета, где изучал ботанику под руководством А. Я. Гордягина. Закончив университет в 1891 г., был оставлен работать при ботаническом кабинете, однако по совету Гордягина продолжил образование в Лесном институте Петербурга. Здесь формирование молодого ученого происходило под руководством И. П. Бородина.

С 1895 года Н. А. Буш состоял на службе в должности приват-доцента Юрьевского университета (ныне университет г. Тарту), а с 1902 г. – в Петербургском ботаническом саду. В 1903 г. защитил магистерскую диссертацию, а в 1911 г. становится доктором ботаники. С 1912 г. работал в Ботаническом музее, а после объединения сада и музея с 1931 г. в Ботаническом институте АН СССР. Одновременно преподавал в Ленинградском университете. В 1920 г. был избран членом-корреспондентом АН СССР.

Н. А. Буш сыграл немаловажную роль в организации Русского Ботанического общества, был одним из его отцов-основателей.

Свои первые экспедиции по Западному Кавказу ботаник совершил с 1888 по 1890 г. под руководством Н. И. Кузнецова. Позднее Н. А. Бушу довелось побывать в различных районах Кавказа. В 1894 г. он работал в Талыше; в 1895 г. совершил поездку по Военно-Грузинской дороге и проводил исследования в Западном Закавказье; в 1904 г. посетил Хевсурию, Тушетию, Андийский округ Дагестана, а также Кахетию; в 1905 г. работал в Крыму, где изучал растительность южного побережья, и Яйлы.

Начиная с 1907 г. постоянным помощником и спутником Буша во всех поездках и работах была его жена – Елизавета Александровна Буш (в девичестве Эндаурова). С 1907 по 1939 г. супруги Буш организовали и приняли участие в 18 Кавказских экспедициях. В 1907, 1908, 1909, 1911, 1913 гг. Николай Адольфович занимался изучением растительности Северного Кавказа, а также исследовал ледники. В 1914 г. им опубликованы данные о начавшемся отступлении ледников Кавказа. За исследования ледников Кавказа Н. А. Буш был награжден Русским Географическим обществом тремя медалями (малой золотой, малой серебряной и медалью имени Пржевальского). Затем последовал 12-летний перерыв в Кавказских экспедициях. К изучению Северного Кавказа супруги Буш вернулись только в 1925 г. С этого времени они проводили исследования в Балкарии и Дигории (Центральный Кавказ), где они побывали в 1927 и в 1931 гг. С 1928 г. чета ученых проводила экспедиционные исследования в Южной Осетии ежегодно до 1930 г., а также в 1933 г. В 1935 г. Ботаническим институтом по инициативе Бушей начинается строительство Горно-лугового стационара в окрестностях села Эрмани в Южной Осетии. В 1940 г. строительство зданий стационара было завершено. Стационар стал местом практики студентов-ботаников и местом полевых исследований для многих ботаников. Вплоть до 1960 г. стационаром руководила Е.А. Буш. В настоящее время сохранились частично лишь каменные дома и остатки каменной ограды. Среди отдельно стоящих берез расположен памятник основателю стационара и место захоронения Е. А. Буш. Иногда сюда приезжают ботаники и любители истории со всей страны.

Систематик, флорист, геоботаник Николай Буш был также талантливым педагогом. Будучи преподавателем Ленинградского университета, он воспитал огромное число учеников, которые в шутку называли себя "бушменами". Среди поколения "бушменов" немало исследователей Кавказа и известных ботаников. В 2013 году были опубликована книга Семеновой-Тяныпанской "Записки о пережитом", в которой отдельная глава посвящена воспоминаниям о семье Буш. Они написаны живым языком и, безусловно, являются лучшим из всего опубликованного на эту тему.

Николай Адольфович скончался 1 августа 1941 года на 72 году жизни при эвакуации из Ленинграда. Его похоронили в городе Белозерске, однако место захоронения до сих пор неизвестно. Но память о Николае Адольфовиче Буше не затеряется среди многих славных имен российской науки. Его научные публикации востребованы современными ботаниками и останутся актуальными в будущем. Обширные гербарные материалы, собранные Н. А. и Е. А. Бушами на Кавказе, хранятся в собраниях научных институтов, учебных заведений и в краеведческих музеях. Большое количество памятников и напоминаний о Н. А. и Е. А. Бушах расположены по всему Кавказу: стела в честь основателя Горно-лугового стационара в Южной Осетии Н. А. Буша; одна из улиц города Цхинвала названа в честь Н. А. и Е. А. Бушей. Самые многочисленные памятники – это растения, названные в честь Николая Буша или в честь обоих Бушей. На Кавказе встречается малина Буша, шиповник Буша, жимолость Бушей и другие растения. Один из самых масштабных памятников находится на территории Кавказского заповедника в районе Имеретинского горного узла. Одно из самых крупных и глубоких озер района носит имя Н. А. Буша. Площадь озера составляет 92500 м2, глубина 24 метра. Озеро питается от расположенного поблизости ледника, лежащего на северном склоне вершины, которая также названа в честь ученого.